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CW复形

作者:jcmp      发布时间:2021-04-28      浏览量:0
怎么样研究一个对象的拓扑?直接研究一个东

怎么样研究一个对象的拓扑?直接研究一个东西的拓扑似乎不太现实,比如那些奇奇怪怪的嵌入,古怪的构造搞的人头晕眼花。而代数拓扑就很好地解决了像我这样几何直觉不是很强的人的问题。它将拓扑转化为代数的计算,只需要做“机械”的处理就能够完成任务了。当然了,这样的转换也是十分重要的,这里不详述了。

一个点,一条线段,一个圆盘,一个球。。乃至n维的球

这些都是最普通的拓扑空间,它们最容易研究,但是也是最容易出现有意思的结果的对象。比如说布劳威尔不动点定理,乃至Borsuk-Ulam定理,甚至最闻名遐迩的庞加莱猜想,唱主角戏的都是这些最普通的元素。也许我们可以把它们叫做“拓扑空间的基石”。

研究一个比较复杂的拓扑空间,我们可以研究它到底是怎么样用这些“基石”造起来的。就比如说一个圆就可以有两种“建筑方法”。因为在前面我们对 的定义当中可以看出, 就是熟知的 区间,而一个点则是用 代表。一个普通的圆形可以有许多种方法,比如说我们还可以在中间加入几个点,把它变成 条线段(注意,这里需要用的是开的线段,也就是 ),首尾相连,最后形成一个环。这样,研究圆的拓扑结构在一定程度上就能够化为研究最简单的 与 的拓扑结构了。

为了更方便地描述这一点,我们记 , 即为一个单点。也不知道是谁把它的中文名字翻译成了“胞腔”, 则就叫做“ 维胞腔”了。为了说明这些胞腔们没有冗余的东西,我们需要不同维数的胞腔具有不同的拓扑性质。更简单地说,就是在 的时候, 和 不一样。这个可以很简单地通过 而 。 可见Stackexchange的回复。

现在我们有了基石,怎么样描述“房子 用了哪些基石”这个问题?就像砌砖一样,我们定义一个“砖堆”,也就是所谓的“胞腔分解”(Cell decomposition)。一个拓扑空间的胞腔分解是 ,而就像我们前面缩写的, 是 维的胞腔。而且我们需要 。其中 代表是无交之并。值得注意的是,这里的 只是与 同胚的空间,就比如以上圆的分解。所以我们就可以把分解的“砖块”罗列出来了。

接下来就要造房子了,而这个房子该由什么样的顺序造呢?在胞腔这里,我们经常是从 维的胞腔开始用起,直到造完。我们把所有小于等于 维的“砖块”垒砌起来,这样一个“完成一点的空间”叫做空间 的“ 维骨架”(记号为 )。一个 被分解为两个 (红与蓝的开半球),两个 (紫与绿的开线段)与两个 ,也就是说它的1维骨架是一个圆。但是如果它利用球极投影来看,可以分解为一个 与一个 ,1维骨架是一个点。也就是说,这些不同的分解得出来的结果是不一样的。

于是这就引入了一个问题“用什么样的规则造房子”,也就是所谓的“CW复形公理”。我在此列举一下。

1.(特征映射) 胞腔 ,存在映射 使得 为同胚,同时 。这句话的意思是,放在空间中的“砖块”都得和我们原来的基石“一样”。而这些砖块的边界必须在低一维的空间中。

2.(闭包有限) ,闭包 只与其他有限个 中的胞腔相交。这里相交的意思是通过特征映射映射到的像的相交。

3.(弱拓扑) 是闭的当且仅当 ,都有 为闭。

如果胞腔有限的话,2自然成立(有限嘛),3的话也是成立的,是因为如果 都是闭的,那么交集的有限并还是闭的。所以这两个条件只对无限个胞腔的情况有用。

那么什么时候空间会违反3呢?(违反2的很容易找到)这就是闻名遐迩的“夏威夷耳环”了,夏威夷耳环是指 ,而且。

也就是一个个在左端点相切的圆,正如图片所示。而我们要研究的集合。

即为圆右端点组成的集合。在一般的拓扑之下, 并不是闭的,是因为 不在 中。但是对于一个胞腔分解(左端点为 ,其余圆去掉左端点同胚于线段,为 ), 为单点集,即闭集。如果弱拓扑成立的话,则 也是闭集,与 是闭集就矛盾了。所以说这样的胞腔分解不是CW复形。

有了这些造房子的条件,那么就能够欣赏房子了。不过为了欣赏到房子的每一个细节,我们需要定义胞腔复形,也就是上文提到过的 维骨架。就是一个上升的序列。

且满足

由 添加 维胞腔得来 , 为闭当且仅当 在 中为闭集对 成立。

前面已经举过了关于球的例子,类似地 可以写作2个 -胞腔,2个 -胞腔。。。2-个 -胞腔。。。2个 -胞腔的并。而我们定义需要用到最大的胞腔维数作为 的维数,那么 当然就是 维的了。当然,也有可能是无穷维的空间,也就是不存在维数最大的胞腔。

这里需要注意的是两个空间的笛卡尔积的胞腔问题。即 ,其中 为 中 -胞腔,对 同理。在 或 的胞腔是有限的时候,弱拓扑则与乘积拓扑相同。

再来看几个关于胞腔分解的例子吧!首先是实射影空间 ,它的三个定义等价:

这几个定义的等价性是显而易见的,注意到第二个和第三个等价是因为我们考虑的是一个半球。在半球上面的对顶点等价。而半球的边界上我们知道是 ,也就是 是通过 粘上一个 胞腔,以及对于的映射 得到的。也即它的胞腔分解中,每个小于 维的胞腔都有恰好一个。

同样我们也可以考虑复射影空间 ,同样有三个定义

其中

而 同胚于

也就是说, 。我们可以让第二个定义中选取代表元在 中,且 中有且仅有一个代表元。显然有 是 所定义的 。那么就有 成立。

附录:CW复形的历史沿革(来自迪厄多内的"History of Algebraic and Differential Topology")。

1933年,Ehresmann在研究格拉斯曼流形的同调时,就有了将一个空间 分解为一个个胞腔的想法,这样的分解比当时时兴的方法更广。也就是一个 维胞腔同构于一个 中的 维开球,但是它的边界却不一定同构于 。

1941年,J.H.C 怀特海将这个内容再次推广,成为了我们今天所看到的形式。他原来命名是"Membrane complex",而在1950年他把名字改为"CW complex",也就是"closure finite complex with weak topology"这个名词的缩写。